培养孩子未来核心竞争力,离不开它的力量!

渊学通教育 渊学通国际课程 2021-04-24 07:05

   虽然教育圈不断强调数学学科的重要性,但提起“微积分”与“素数”,不少人还是会觉得陌生与遥远,并忽视了对相关能力的培养。事实上,我们离“微积分”与“素数”就缺少了一本只需掌握基础数学就能看懂的科普书。本期少年书房上架了数学家史蒂夫·斯托加茨的数学科普著作《微积分的力量》以及托马斯·林的《素数的阴谋》,通过简单易懂的讲解和丰富的插图,给到孩子欣赏数学之美的能力,助其在数学世界中不断探索前进。


2020年的最后一天,清华大学发布官方通知,将启动“丘成桐数学科学领军人才培养计划”,初三学生就可申请,有机会直接走上清华本硕博连读的“学霸道路”。

清华大学的该计划旨在挖掘具备超常数学能力的学生,为中国数学的未来创造更多可能。

在历史上,数学对人类发展的贡献,不言而喻。这也归功于历代数学人的接力,将人类对数的理解带入深处。

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其实,数学不仅仅是学霸们的测量表,对于普通孩子一样具有重要的意义和价值。尤其是在这个科技日新月异的时代,数学能力就意味着未来竞争力的含金量。

而数学中的“微积分”,则是其中非常重要的门类,更有很多数学教育工作者提倡中学生需要了解更多微积分知识。不仅能和国内外大学学习做好衔接,更能避免因为专业所限,缺失了重要的数学能力,丧失未来跨专业发展的可能性。

可“微积分”,听起来是大学生才会接触到的三个字,中学生真的也能学会吗?

先别着急皱眉头,其实早在我们小学的时候,就已经见识过微积分了,只是我们当时不认得它。而导致我们认为微积分复杂的,可能就是缺少一本只需掌握基础数学就能看懂的科普书。

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无穷之“罪”

相信每一位小学数学老师都曾这样提醒过刚学习除法的我们:0一定不可以作为除数,因为没有数乘以零会得出非零数。”我们从此将其奉为圭臬。

可真的如此吗?

实际上,在实无穷条件下,如果一个无限接近0的数被累计无穷次,结果可以等于任何数。

微积分,便是把复杂的问题分解为无穷个小问题(微分),再将它们组合在一起(积分)。组合多少次呢?无穷次。

数学家史蒂夫·斯托加茨(Steve Strogatz)在数学科普著作《微积分的力量》中将无穷称作“被通灵术召唤的灵魂”,这可不是恭维。

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《微积分的力量》

例如,如果一段很短的线段被分为实无穷段,则每一段的长度为0。亚里士多德认为这会招致谬论,所以,他不允许在数学和哲学中使用实无穷,只能使用潜无穷。

在接下来的2200年里,他的这条“法令”得到了数学家的支持。

而正如《微积分的力量》的英文原书名Infinite Powers(无穷的力量)所暗示的,无穷拥有力量,但只有在被“驯化”后才能够发挥它惊人而奇妙的能量,这种“驯化”实则是一场壮丽的天才接力。

在书中,斯托加茨本人成了一位优雅从容的引路者,借助简单易懂的讲解和丰富的插图,将天才们的生命之链徐徐展开。

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《微积分的力量》外封镭射偏光

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“我们之后的世代”

如何用素描技法画出一个圆?首先要画一个方形,再将它一步步切成多边形,边越多,看起来越像一个完美的圆。

阿基米德运用了类似的思路计算圆周率。但圆并不是由直线组成的,而是由弯曲的弧组成的。当我们用直线来代替每一段弧时,就相当于走了点儿捷径。

但至少在理论上,通过走足够多的步数,并且每一步的步长足够短,我们就可以尽可能精确地估算出圆形路径的长度。

阿基米德从由6条线组成的路径开始,到12 步,24 步、48 步、96 步,并以令人头痛不已的精密度算出了这些不断缩小的步长。

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无论是在逻辑上还是在算术上,阿基米德计算π值的行为都堪称壮举。借助圆内接96边形和圆外接96边形,他最终证明π大于3 + 10/71 而小于3 + 10/70。

阿基米德的遗产直到今天仍然熠熠生辉。

《玩具总动员》中的角色之所以看起来栩栩如生,部分原因在于它们体现了阿基米德的一个洞见:任何平滑表面都可以令人信服地用三角形来逼近。我们使用的三角形越小和越多,逼近效果就越好。

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玩具总动员(图源movie-empire)

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非虚构的“虚构产物”

尽管微分是思维的虚构产物,但自从莱布尼茨发明微分以来,它们就以非虚构的方式深刻地影响着我们的世界、社会和生活。

通常情况下,微积分都是在我们日常生活的背后默默地发挥着作用。就GPS而言,这个系统的几乎所有功能都取决于微积分。

想想卫星和接收器之间的无线通信,微积分预言了电磁波的存在,从而使无线通信成为可能。所以,没有微积分,就不会有无线通信和GPS。

同样地,GPS卫星上的原子钟利用的是铯原子的量子力学振动,而微积分是量子力学方程及其求解方法的基础。所以,没有微积分,就不会有原子钟。

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《微积分的力量》内页插图

微积分还是计算卫星轨道和控制卫星位置的数学方法的基础,当原子钟高速运动或在弱引力场中运动时,微积分也是把爱因斯坦的相对论改正与原子钟时间结合在一起的数学方法的基础。

但我希望把重点说清楚,微积分为很多能使GPS成为可能的技术研发创造了条件,当然,微积分并不能独立做到这一切。

尽管它是一个配角,却是一个重要的配角。和电气工程学、量子物理学、航空航天工程学等学科一样,微积分也是这个团队中不可或缺的一部分。

微积分是用于研究任何事物的想法与方法的庞杂集合,包括了其子孙后代。由此可见,微积分还没有完结,它和以前一样求知若渴。

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《微积分的力量》内页插图

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无穷=无穷?

牛顿、莱布尼茨这些名字都是在数学界如雷贯耳的,然而他们总是显得有些久远,这不禁会让我们对数学发展的印象停留在前几个世纪。

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《素数的阴谋》

然而,数学从来不只是工具,也不是技术的附庸,直到今天,数学理论的发展也承袭着阿基米德、欧几里得的创造一直前行。

在《素数的阴谋》中,我们所看到的,就是当代数学家们对于经典理论的承继与超越,对前世遗留下来数学谜题的不断探索。

公元前4世纪,亚里士多德提出了 “潜无穷”——数轴将永远延续——作为数学中一个完全合理的概念。但他拒绝接受“实无穷”的概念,即将无穷定义为一个实际、完整且可操作的对象。

无穷的概念是令人费解的。无穷可以有不同的大小吗?这可能是有史以来最违反直觉的数学发现。

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《素数的阴谋》内页

19世纪末,德国数学家格奥尔格·康托尔用数学的形式语言抓住了这种匹配策略的精髓。

他证明,当两个集合之间可以建立一一对应时(即当每辆汽车有且只有一个司机时),它们的大小是相同的,或者说它们具有相同的基数。或许更令人惊讶的是,他证明了这种方法也适用于无穷大的集合。

然而,康托尔不能确定的是,是否存在一个中间大小的无穷。直到一百多年后,马利亚里斯和希拉才开辟一条道路,证明了无穷=无穷。

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《素数的阴谋》内封

正如《素数的阴谋》译者张旭成所说,数学科普为我们打开一扇门,让我们有机会欣赏到属于这个时代人类群星闪耀的时刻——这应当是每一个人的权利。

那些你叫得出名字的伟大数学家,他们的工作和精神时至今日仍然被理解和继承。科普的使命,就是为科学寻找到被它吸引的人,帮助他们走出自己的第一步。可以是任何年龄、任何时代、任何地区的任何人。

相比牛顿、莱布尼茨,这一连串复杂而陌生名字或许会让你晕头转向,但正如译者张旭成所说,《素数的阴谋》想做的,就是为我们打开一扇门,“让你有机会欣赏到属于这个时代人类群星闪耀的时刻——这应当是每一个人的权利。在追求无限的旅程中,数学一直与人类同行。“

从阿基米德后的世代,到我们之后的世代,走向无穷。